где g₁₁, g₁₂ и g₂₂ – функции от u¹ и u², определяемые выражениями

Полезно также ввести величины g^ij:

Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).

Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами

Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T₁ и T₂. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ¶T_i/¶u^j (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T₁, T₂ и N :

Величины Гⁱ_jk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины [i, j, k] (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями

где по определению

Величины b_ij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности b_ij играют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности – непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.

Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде

где g₁₁l¹l¹ + 2g₁₂l¹l² + g₂₂l²l² = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора l равна

За полуоборот вектора l кривизна k(l) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора l, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(l) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма – средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями

и

Важную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K > 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K < 0 – гиперболическую неевклидову геометрию.

Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через g_ij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (b_ij) равен R₁₂₁₂, где

Величина (R_lijk) называется тензором кривизны поверхности.

назад   дальше