Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|
  
|
|
Первообразные. Каждую функцию, производная которой равна данной функции f(x), называют первообразной (или примитивной) для f(x). Например, х3/3 – первообразная для функции х2, так как (x3/3)ў = x2. Разумеется, х3/3 – не единственная первообразная функции х2, так как x3/3 + C также является производной для х2 при любой константе С. Однако мы в дальнейшем условимся опускать такие аддитивные постоянные. В общем случае 
где n – положительное целое число, так как (xn + 1/(n + 1))ў = xn. Соотношение (1) выполняется в еще более общем смысле, если n заменить любым рациональным числом k, кроме –1.
Произвольную первообразную функцию для заданной функции f(x) принято называть неопределенным интегралом от f(x) и обозначать его в виде
Например, так как (sin x)ў = cos x, справедлива формула
Из формулы (1) следует, что  для n № –1. Так как (lnx)ў = x–1, то  .
Во многих случаях, когда существует формула для неопределенного интеграла от заданной функции, ее можно найти в многочисленных широко публикуемых таблицах неопределенных интегралов. Табличными являются интегралы от элементарных функций (в их число входят степени, логарифмы, показательная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, а также их конечные комбинации, получаемые с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления). С помощью табличных интегралов можно вычислить интегралы и от более сложных функций. Существует много способов вычисления неопределенных интегралов; наиболее распространенный из них метод подстановки или замены переменной. Он состоит в том, что если мы хотим в неопределенном интеграле (2) заменить x на некоторую дифференцируемую функцию x = g(u), то, чтобы интеграл не изменился, надо x заменить на gў(u)du. Иначе говоря, справедливо равенство
Пример 1.
(подстановка 2x = u, откуда 2dx = du).
Приведем еще один метод интегрирования – метод интегрирования по частям. Он основан на известной уже формуле
Ее можно записать так:
Проинтегрировав левую и правую части, и учитывая, что
получим
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 2. Требуется найти  . Так как cos x = (sin x)ў, мы можем записать, что
Из (5), полагая u = x и v = sin x, получаем
А поскольку (–cos x)ў = sin x мы находим, что  и
Пример 3.
Следует подчеркнуть, что мы ограничились лишь весьма кратким введением в весьма обширный предмет, в котором накоплены многочисленные остроумные приемы.
|
|
|
|
