Формы. Формой называется однородный многочлен от двух или более переменных, т.е. многочлен, все члены которого имеют одну и ту же полную степень по совокупности переменных; например, x² + xy + y² – форма степени 2, x³ – x²y + 3xy² + y³ – форма степени 3. Одним из основных является вопрос, аналогичный сформулированному выше для формы x² + y², а именно: какие целые числа представимы с помощью формы (т.е. какие целые значения может принимать форма) при целых значениях переменных? И на этот раз наиболее полно был рассмотрен квадратичный случай. Для простоты мы ограничимся лишь двумя переменными, т.е. формами вида f(x,y) = ax² + bxy + cy². Величина D = 4ac – b² называется дискриминантом формы f(x,y); если дискриминант равен нулю, то форма вырождается в квадрат линейной формы. Такой случай обычно не рассматривается. Формы с положительным дискриминантом называются определенными, т.к. все значения, принимаемые формой f(x,y) в этом случае, имеют тот же знак, что и a; при положительном a форма f(x,y) всегда положительна и называется положительно определенной. Формы с отрицательным дискриминантом называются неопределенными, так как f(x,y) принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Если в f(x,y) произвести замену переменных x = Au + Bv, y = Cu + Dv, где A, B, C, D – целые числа, удовлетворяющие условию AD – BC = ±1, то получим новую форму g(u,v). Так как любой паре целых чисел x и y соответствует пара целых чисел u и v, то каждое целое число, представимое формой f, представимо формой g, и наоборот. Поэтому в таком случае говорят, что f и g эквивалентны. Все формы, эквивалентные данной, образуют класс эквивалентности; число таких классов для форм с фиксированным дискриминантом D конечно.

Оказывается, что в случае положительно определенных форм в каждом классе эквивалентности существует единственная форма ax² + bxy + cy² с такими коэффициентами a, b, c, что либо –a < b Ј a < c, либо 0 Ј b Ј a = c. Такая форма называется приведенной формой данного класса эквивалентности. Приведенная форма используется как стандартный представитель своего класса, а информация, получаемая относительно нее, легко распространяется на остальные члены класса эквивалентности. Одной из основных задач, которая в этом простейшем случае полностью решена, является нахождение приведенной формы, эквивалентной данной форме; этот процесс называется приведением. В случае неопределенных форм мы не можем указать неравенств, которым должны удовлетворять коэффициенты лишь одной формы из каждого класса. Однако существуют неравенства, которым удовлетворяет некоторое конечное число форм в каждом классе, и все они называются приведенными формами.

Определенные и неопределенные формы различаются также тем, что любая определенная форма представляет (если представляет) целое число только конечным числом способов, тогда как число представлений целого числа неопределенной формой всегда либо равно нулю, либо бесконечно. Дело в том, что, в отличие от определенных форм, неопределенные обладают бесконечно многими «автоморфизмами», т.е. подстановками x = Au + Bv, y = Cu + Dv, оставляющими форму f (x,y) неизменной, так что f (x,y) = f (u,v). Эти автоморфизмы можно полностью описать в терминах решений уравнения Пелля z² + Dw² = 4, где D – дискриминант формы f.

Некоторые частные результаты, связанные с представлением целых чисел квадратичными формами, были известны задолго до появления только что описанной общей теории, начало которой было положено Лагранжем в 1773 и которая получила развитие в работах Лежандра (1798), Гаусса (1801) и других. Ферма в 1654 показал, что каждое простое число вида 8n + 1 или 8n + 3 представимо формой x² + 2y², каждое простое число вида 3n + 1 представимо формой x² + 3y² и не существует простого числа вида 3n – 1, представимого формой x² + 3y². Он также установил, что любое простое число вида 4n + 1 представимо, причем единственным способом, в виде суммы двух квадратов. Ферма не оставил доказательств этих теорем (как, впрочем, и почти всех других своих результатов). Некоторые из них были доказаны Эйлером (1750–1760), причем доказательство последней из указанных теорем потребовало от него семи лет напряженных усилий. Ныне эти теоремы известны как простые следствия из квадратичного закона взаимности.

Сходным образом можно определить и эквивалентность квадратичных форм от n переменных. Существуют аналогичные теории приведения и представлений, естественно, более сложные, чем в случае двух переменных. К 1910 развитие теории продвинулось настолько, насколько это было возможно с помощью классических методов, и теория чисел пребывала в состоянии спячки вплоть до 1935, когда Зигель придал ей новый импульс, сделав основным инструментом исследований в этой области математический анализ.

Одна из наиболее удивительных теорем теории чисел была доказана Ферма и, по-видимому, была известна еще Диофанту. Она гласит, что любое целое число есть сумма четырех квадратов. Более общее утверждение без доказательства высказал Э.Варинг (1734–1798): каждое положительное целое число есть сумма не более девяти кубов, не более девятнадцати четвертых степеней и т.д. Общее утверждение о том, что для каждого положительного целого числа k существует целое число s, такое, что любое положительное целое число может быть представлено в виде суммы не более чем s k-х степеней, было в конце концов доказано Д.Гильбертом (1862–1943) в 1909.

назад   дальше