Многие вопросы естественно приводят к теории выпуклых тел, и именно эта теория была развита Минковским наиболее полно. Затем на долгое время опять наступил застой, но с 1940, в основном благодаря работам английских математиков, наметился прогресс в развитии теории невыпуклых тел.

Диофантовы приближения. Этот термин был введен Минковским для описания задач, в которых некоторое переменное выражение должно быть сделано насколько возможно малым, когда переменная принимает целочисленные значения, не превышающие некоторого большого числа N. В настоящее время термин «диофантовы приближения» используется в более широком смысле для обозначения ряда теоретико-числовых задач, в которых встречается одно или несколько заданных иррациональных чисел. (Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.) Почти все такого рода проблемы возникли из следующего фундаментального вопроса: если дано некоторое иррациональное число q, то каковы наилучшие рациональные приближения к нему и насколько хорошо они его приближают? Разумеется, если использовать достаточно сложные рациональные числа, то число q можно приблизить сколь угодно точно; поэтому вопрос имеет смысл только в том случае, когда точность приближения сопоставляется с величиной числителя или знаменателя, аппроксимирующего числа. Например, 22/7 – хорошее приближение к числу p в том смысле, что из всех рациональных чисел со знаменателем 7 дробь 22/7 ближе всех к числу p. Такие хорошие приближения всегда можно найти с помощью разложения числа q в непрерывную дробь. Подобные разложения, в чем-то похожие на разложения в десятичную дробь, служат мощным инструментом исследований в современной теории чисел. С их помощью, например, нетрудно убедиться в том, что для каждого иррационального числа q существует бесконечно много дробей y/x, таких, что погрешность |q – y/x| меньше, чем 1/x² (см. также НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ).

Число b называется алгебраическим, если оно удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с целочисленными коэффициентами a₀bⁿ + a₁b^{n – 1} + ... + a_n = 0. В противном случае число b называется трансцендентным. То немногое, что известно о трансцендентных числах, получено с помощью методов диофантовых приближений. Доказательства обычно сводятся к нахождению аппроксимационных свойств трансцендентных чисел, которыми не обладают алгебраические числа. Примером может служить теорема Ж.Лиувилля (1844), согласно которой число b трансцендентно, если при сколь угодно большом показателе n найдется дробь y/x, такая, что 0 < |b – y/x| < 1/xⁿ. Развивая идеи Эрмита, Ф.Линдеман в 1882 доказал, что число p трансцендентно и тем самым дал окончательный (отрицательный) ответ на вопрос, поставленный еще древними греками: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равный по площади данному кругу? В 1934 А.О.Гельфонд (1906–1968) и Т.Шнайдер (р. 1911) независимо друг от друга доказали, что если алгебраическое число a, отличное от 0 или 1, возвести в иррациональную алгебраическую степень b, то получившееся число a^b трансцендентно. Например, число трансцендентно. То же самое можно сказать и о e^p (значении выражения i^–2i).

назад   дальше