Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|||||||||||
  
|
|
Алгебраическая теория чисел. Чтобы доказать закон взаимности четвертых степеней (аналог квадратичного закона взаимности для соотношения x4 є q (mod p)), Гаусс в 1828 исследовал арифметику комплексных чисел a + bi, где a и b – обычные целые числа, а  .
Делимость, «единицы», простые числа и НОД для «гауссовых чисел» определяются
так же, как для обычных целых чисел, сохраняется также и теорема о единственности
разложения на простые числа. Пытаясь доказать Великую теорему Ферма (о
том, что уравнение xn
+ yn = zn
не имеет решений в целых числах при n
> 2), Э.Куммер
в 1851 перешел к изучению арифметики целых чисел более общего типа, определяемых
с помощью корней из единицы. Сначала Куммер полагал, что ему удалось найти
доказательство теоремы Ферма, но он заблуждался, поскольку, вопреки наивной
интуиции, для таких чисел не выполняется теорема о единственности разложения
на простые множители. В 1879 Р.Дедекинд
ввел общее понятие алгебраического целого числа, т.е. алгебраического
числа, удовлетворяющего алгебраическому уравнению с целочисленными коэффициентами
и коэффициентом a0
при старшем члене, равном 1. Чтобы получить некоторое множество алгебраических
целых чисел, аналогичное множеству обычных целых чисел, необходимо рассматривать
только такие алгебраические целые числа, которые принадлежат фиксированному
полю алгебраических чисел. Это множество всех чисел, которые можно
получить из некоторого данного числа и рациональных чисел с помощью многократного
применения сложения, вычитания, умножения и деления; поле алгебраических
чисел аналогично множеству рациональных чисел. Алгебраические целые числа
из данного поля в свою очередь подразделяются на «единицы», простые и
составные числа, но в общем случае для двух таких чисел однозначно определенного
НОД не существует и не выполняется теорема о единственности разложения
на простые множители. Простейшие примеры полей алгебраических чисел, кроме
множества рациональных чисел, это поля алгебраических чисел, определенные
с помощью алгебраических чисел степени 2, т.е. иррациональных чисел, удовлетворяющих
квадратным уравнениям с рациональными коэффициентами. Такие поля называются
квадратичными числовыми полями.
Куммеру принадлежит фундаментальная идея введения новых т.н. идеальных чисел (1847), выбираемых таким образом, чтобы в расширенном множестве снова выполнялась теорема о единственности разложения на простые множители. Для той же цели Дедекинд в 1870 ввел несколько иное понятие идеалов, а Кронекер в 1882 – метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел. Работы этих трех математиков не только заложили основы арифметической теории алгебраических чисел, но и ознаменовали начало современной абстрактной алгебры. Вопрос о том, имеет ли место в данном поле единственное разложение на простые множители, весьма труден. Ситуация ясна только в одном случае: существует лишь конечное число квадратичных полей, обладающих этим свойством, и все такие поля, за исключением одного сомнительного случая, хорошо известны. С «единицами» поля ситуация проще: как показал Дирихле, все «единицы» (которых, вообще говоря, бесконечно много) можно представить в виде произведений степеней некоторого конечного множества «единиц». Рассмотрение такого рода проблем в связи с каким-нибудь конкретным полем непременно предваряет более глубокие арифметические исследования в рамках этого поля и приложения к проблемам классической теории чисел. Существует другая, более тонкая теория, начало которой было положено в 1894 Гильбертом, в которой одновременно рассматриваются все числовые поля, обладающие определенными свойствами. Она называется «теорией полей классов» и принадлежит к наиболее строгим в техническом отношении разделам математики. Существенный вклад в ее развитие внесли Ф.Фуртвенглер в 1902 и Т.Такаги в 1920. В последние годы в этой области математики наблюдается значительная активность. |
|
|
|
