Начала Евклида начинаются с определений и аксиом, затем идут пять постулатов, из которых первые четыре утверждают: между любыми двумя точками можно провести прямую; любую прямую можно продолжить бесконечно; из всякого центра любым радиусом можно описать окружность; все прямые углы равны между собой. Ретроспективно постичь эти идеи не так уж трудно. Однако осознать их в качестве свойств нашего понятия пространства и абстрагировать таким образом, чтобы их можно было организовать в непротиворечивую систему, непросто; это явилось в свое время одним из величайших достижений человечества. Изложение Евклида было не лишено недостатков, о которых у нас пойдет речь ниже, но дерзость, с которой он осуществил свой замысел, не может не восхищать. В частности, столкнувшись с проблемой определения природы геометрического места точек плоскости р, находящихся на заданном расстоянии d от прямой l, лежащей в плоскости р, Евклид принял формальное предположение – пятый постулат (постулат о параллельных). Согласно этому постулату, если точка Р, принадлежащая плоскости р, не лежит на прямой l, лежащей в плоскости р, то существует только одна прямая lў в р, проходящая через точку Р, такая, что каждая точка прямой lў находится на одном и том же расстоянии d от прямой l; говорят, что lў «параллельна» l (рис. 2). Пятый постулат расходится с наблюдениями внешнего мира: обычно нам кажется, что параллельные прямые (например, железнодорожные рельсы) сходятся на горизонте. К этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся.

(3.03 Кб)

Начала Евклида состояли из 13 книг, в которых систематически изложены математические знания его времени относительно пространственных понятий, включая геометрическое представление рациональных чисел.

Среди тех, кто жил и творил после Евклида, выделяется прежде всего Архимед (ок. 287–212 до н.э.), чьи взгляды на мир были гораздо шире. Для него непременным атрибутом внешнего мира является движение и все, что с ним связано. Архимед заложил основы механики как науки, а также предвосхитил методы интегрального исчисления, которые впоследствии вошли в т.н. математический анализ. Именно Архимеду принадлежит заслуга осознания весьма любопытного факта, составляющего неотъемлемую часть нашего понимания пространства. Мы предполагаем, что можем достичь любой точки на прямой, сделав достаточное число шагов одной и той же длины. Это кажущееся очевидным допущение, ныне известное как аксиома Архимеда, играет важную роль в основаниях геометрии. Ранее в этой связи философ Зенон в 5 в. до н.э. поднял ряд трудных вопросов об истолковании понятий «точка» и «прямая», ставших головной болью философов и математиков вплоть до 19 в. Одна из знаменитых «апорий» (парадоксов) Зенона заключалась в том, что бегун, прежде чем добежать до конца дистанции, должен добежать до ее середины, а до этого – до середины половины дистанции и т.д., т.е. должен побывать в бесконечно многих точках, а сделать это за конечное время невозможно. Таким образом, бегун никогда не добежит до конца дистанции!

Аполлонию Пергскому, великому современнику Архимеда, мы обязаны созданием теории кривых, которые получаются при сечении конуса плоскостью. Ныне трудно оценить искусство, которое было необходимо для изучения всех фокальных и центральных свойств «конических сечений» с помощью построений циркулем и линейкой. Нам остается только констатировать, что с переходом к современным методам исследований осталось открыть лишь очень немногие свойства сечений (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

С именем последнего из греческих геометров Паппа Александрийского (ок. 250 – ок. 300) связана одна знаменитая теорема, утверждающая, что если точки А, В, С лежат на прямой l, а точки Аў, Вў, Сў – на прямой lў, то точки пересечения L, M и N прямых АВў и АўВ, прямых АСў и АўC и прямых ВСў и ВўС соответственно лежат на одной прямой (рис. 3). Это свойство точек и прямых не зависит от длины и расстояний; доказав свою теорему, Папп перебросил мост между греческой эпохой и начавшейся в 17 в. новой эрой великих математических открытий (см. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

(10.71 Кб)

назад   дальше