Записанное с помощью дифференциалов, это уравнение принимает вид

и его непосредственное обобщение приводит к уравнениям касательной к неплоской кривой в точке (y₁, y₂, y₃):

В то время как понятие углового коэффициента не допускает обобщения, понятие направляющего числа легко обобщается, и в качестве направляющих чисел рассматриваемой прямой можно принять дифференциалы. Уравнение соприкасающейся плоскости (плоскости касательных) к неплоской кривой задается определителем

Все эти уравнения имеют явный вид, если рассматриваемое геометрическое место точек задано аналитически, например, параметрически формулами y₁ = y₁ (t), y₂ = y₂ (t), y₃ = y₃ (t).

Дифференциальная геометрия стала самостоятельным разделом математики после того, как Б.Риман (1826–1866) заметил, что теорема Пифагора допускает дальнейшее обобщение, и предложил определять меру длины как

При n = 3 и g_ij = 1 (если i = j) и g_ij = 0 (если i № j) мы получаем евклидову геометрию в декартовых (прямоугольных) координатах; другие возможные выборы величин g_ij приводят к множеству новых геометрических систем, в частности, к геометрии специальной и общей теорий относительности. В конце 19 в. для разработки этих идей был изобретен тензорный анализ, который оказался одним из наиболее подходящих языков для современной физики.

Таким образом, методы математического анализа привели нас к идеям, весьма отличным от тех, которые были известны древним грекам. В частности, огромное значение получило понятие «геодезической» – линии, целиком лежащей на поверхности и являющейся кратчайшим путем между двумя точками. Если уравнение некоторой поверхности записать в параметрическом виде: x₁ = x₁ (u,v), x₂ = x₂ (u,v), x₃ = x₃ (u,v), то геометрические места точек u = const, v = const называются «параметрическими кривыми» этой поверхности, а параметры (u,v) задают на этой поверхности «криволинейные координаты». На поверхности Земли мы определяем свое местонахождение, указывая «широту» и «долготу»; из этих двух систем параметрических кривых линии долготы являются большими кругами и, следовательно, геодезическими. В случае декартовой геометрии параметрическими кривыми служат прямые, параллельные осям координат, и все такие прямые – геодезические. См. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

назад   дальше