По-видимому, сама идея описания положения точки на плоскости путем соотнесения ее с двумя прямоугольными координатными осями была довольно старой, но мысль о том, что любую точку Р плоскости можно обозначить ее прямоугольными или «декартовыми» координатами (х₁, х₂) и интерпретировать уравнение f (x₁, x₂) = 0 как уравнение, задающее плоскую кривую, несомненно, была революционной. Аналогично, в пространстве мы можем обозначить любую точку тремя координатами (x₁, x₂, x₃), уравнением f (x₁, x₂, x₃) = 0 задать поверхность, а системой уравнений

– линию пересечения двух поверхностей в пространстве.

В «аналитической» геометрии число координат называется «размерностью» пространства. Наряду с евклидовой геометрией, возникшей в качестве модели внешнего мира, можно рассматривать и абстрактную, не имеющую прямого к нему отношения геометрию пространства n измерений, где n – любое целое положительное число. В таком n-мерном пространстве точка определяется n координатами (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) и уравнение f (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) = 0 задает некоторое (n – 1)-мерное геометрическое место точек. Обобщая, можно сказать, что система из r уравнений, где r Ј n, задает (n – r)-мерное геометрическое место точек. Если оси координат взаимно перпендикулярны, то расстояние между двумя точками P (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) и Q (y₁, y₂, y₃, ..., y_n) определяется обобщенным соотношением Пифагора

Из других обобщений теоремы Пифагора выводятся тригонометрические функции.

Теперь мы располагаем всем необходимым, чтобы ввести понятие вектора AB как направленного отрезка с началом в точке А и концом в точке В (см. также ВЕКТОР). Аналогично случаю треугольника, местонахождение вектора в пространстве неважно: вектор можно смещать при условии, что его величина и направление остаются неизменными. Величина вектора AB обозначается символом |АВ| и равна расстоянию между точками А и В. Если точки А и В имеют координаты (a₁, a₂, a₃) и (b₁, b₂, b₃), и мы запишем, что

то

Направление вектора AB определяется углами, которые он образует с осями координат. Обозначим эти углы a₁, a₂, a₃. Тогда (рис. 4)

(5.29 Кб)

Это т.н. «направляющие косинусы» прямой АВ.

Выясним теперь, как выглядит уравнение плоскости p, проходящей через данную точку Q (y₁, y₂, y₃) и перпендикулярной вектору с координатами l₁, l₂, l₃. Из требования, чтобы точка P (x₁, x₂, x₃) лежала в плоскости p, следует, что отрезок PQ перпендикулярен этому вектору, поэтому геометрическое место таких точек задается линейным уравнением

Обратно, любое линейное относительно х₁, х₂, х₃ уравнение определяет некоторую плоскость.

Из формулы для расстояния между точками мы получаем уравнение сферы радиуса r с центром в точке Q вида

Общее уравнение второго порядка относительно х₁, х₂, х₃ задает поверхности второго порядка, или т.н. квадрики (если только оно не «факторизуется», т.е. не вырождается в произведение двух линейных множителей, задающих две плоскости). Квадрики бывают семи типов: цилиндр, конус, эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. С помощью подходящего выбора координатных плоскостей уравнения центральных квадрик (эллипсоидов и гиперболоидов) можно привести к нормальному виду:

где а₁, а₂, а₃ – длины «главных полуосей»; эти поверхности симметричны относительно начала координат, которое служит центром квадрик. Хотя параболоиды не имеют центров симметрии, за нормальные формы их уравнений можно принять следующие:

(эллиптический параболоид)

(гиперболический параболоид).

Некоторые из этих поверхностей являются «линейчатыми». Это означает, что через каждую точку такой поверхности можно провести по крайней мере две прямые, целиком лежащие на этой поверхности; в результате получим два семейства прямых, любое из которых образует всю поверхность. Эти прямые называют образующими.

Если мы ограничимся рассмотрением какой-нибудь одной плоскости, например, положив для этого в уравнении квадратичной поверхности x₃ = 0, то получим уравнения конических сечений – кривых, по которым эти поверхности пересекают плоскость x₃ = 0. Это – эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола (см. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Исследование геометрических мест точек, заданных уравнениями, порядок которых больше двух, значительно сложнее. В 1704 И.Ньютон (1643–1727) классифицировал кубические кривые, и с тех пор кривые и поверхности третьего и четвертого порядков стали предметом интенсивного изучения. Хотя методы Декарта существенно упростили идеи греческой геометрии, они же породили много новых трудностей. Некоторые из этих трудностей были преодолены с помощью средств, которыми располагал математический анализ 19 в. Справиться с другими удалось лишь позднее, когда была создана т.н. алгебраическая геометрия (см. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Интересно отметить, что аналитическая геометрия Ферма и Декарта появилась как раз в то время, когда И.Кеплер (1571–1630), исходя из многочисленных астрономических наблюдений, сделал вывод о том, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Это подготовило почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Природа даже тогда, когда речь шла о местоположениях далеких планет, соответствовала описанию человеком его представлений о пространстве! Нужно ли удивляться, что для Ньютона «абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным». Для великого современника Ньютона Г. фон Лейбница (1646–1716) пространство было совокупностью всех возможных отношений расстояния. В следующем разделе мы будем понимать слово «пространство» в более ограниченном смысле.

назад   дальше