Древние греки вполне могли бы натолкнуться на эту идею, будь они более настойчивы в поиске внутреннего смысла симметрии. К проблеме симметрии можно подходить двояко. Если геометрическая фигура остается инвариантной относительно вращения или, более общо, относительно какого-нибудь «преобразования», то можно выписать некоторую систему уравнений, выражающих эти преобразования аналитически. Но возможен и другой подход: мы можем представить себе, что геометрическая фигура остается неизменной, а меняется избранный нами способ ее описания относительно системы координат. По существу речь идет о двух возможных способах интерпретации одного и того же преобразования, но иногда одна интерпретация бывает предпочтительнее другой. Если мы имеем в виду все возможные линейные преобразования, которые оставляют фигуру инвариантной, то говорим, что эти преобразования образуют «группу», которую абстрактно можно определить следующим образом. Если обозначить эти преобразования Т₁, Т₂ и т.д., а совокупность всех таких преобразований – G, то для любых двух преобразований T_i и T_j из G должны выполняться следующие условия:

I. T_iT_j = T_k также принадлежит G;

II. T_i (T_jT_k) = (T_iT_j)T_k (свойство ассоциативности);

III. В G существует некоторое преобразование Т₀, называемое тождественным преобразованием или единицей, такое, что T_iT₀ = T₀T_i = T_i;

IV. Для каждого T_i из G существует «обратное преобразование» T_i^–1, такое, что T_iT_i^–1 = T_i^–1T_i = T₀.

Число g преобразований Т, содержащихся в G, называется «порядком» группы G. Существует 6 симметрий треугольника, они представлены на рис. 6. Нетрудно проверить, что если ограничиться только вращениями, то для тетраэдра g = 12, для куба и октаэдра g = 24, а для икосаэдра и додекаэдра g = 60. Если же кроме вращений допустить отражения и отражения с вращениями, то число g возрастет вдвое. То, что у куба и октаэдра должна быть одна и та же группа вращений, неудивительно, т.к. вершины одного многогранника служат центрами граней другого. Аналогичное утверждение справедливо относительно икосаэдра и додекаэдра. Эти фигура «двойственны» друг другу, тогда как тетраэдр «самодвойствен».

(6.52 Кб)

Все преобразования, о которых шла речь, линейны; они переводят точку в точку, прямую – в прямую и плоскость – в плоскость. Такие «коллинеации» имеют особое значение для описания нашего представления о пространстве, основанного на точках и прямых. Клейн первым понял, что множество всех линейных преобразований, оставляющих метрику инвариантной, позволяет адекватно описывать рассматриваемую геометрию, и это привело Клейна к классификации геометрий по их группам коллинеаций. В проективной геометрии метрика отсутствует, поэтому соответствующая ей группа называется «полной линейной группой». В евклидовой геометрии любое вращение оставляет инвариантной сумму квадратов координат, и соответствующая коллинеация называется «ортогональной»; т.к. комбинация двух ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование, все ортогональные преобразования образуют «ортогональную группу». Параллельные переносы также оставляют метрику инвариантной, поэтому группа «перемещений фигуры как твердого тела» содержит ортогональную группу в качестве своей нормальной подгруппы. Такой подход к изучению геометрии был предложен Клейном в его Эрлангенской программе (1872), которая явилась большим шагом вперед, поскольку предлагала единую точку зрения на ранее существовавшие различные геометрии.

Понятие группы получило дальнейшее развитие. До сих пор мы предполагали, что каждое преобразование линейно, но это ограничение несущественно, коль скоро каждое преобразование имеет обратное, которое однозначно определено. Исследование таких «бирациональных» преобразований в общем виде началось с работ Л.Кремоны (1830–1903). В 1870 было доказано, что любое бирациональное преобразование может быть порождено составными квадратичными преобразованиями. Важно подчеркнуть существование некоторых особых точек или геометрических мест, для которых взаимно однозначное соответствие нарушается; именно это обстоятельство порождает специфические проблемы алгебраической геометрии, над решением которых билось немало математиков. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

назад   дальше