К возникшей в результате такого критического пересмотра проективной геометрии можно подойти, вводя новую систему аксиом, но гораздо поучительнее рассмотреть наши предыдущие исходные допущения и попытаться понять, как их надлежит изменить. Если следовать зрительным восприятиям, то первое, что сразу подпадает под подозрение, – это постулат о параллельных прямых. Нам кажется, что такие прямые все-таки пересекаются в бесконечности. Предположим, что это действительно так, и дополним евклидову плоскость одной «идеальной точкой» или «бесконечно удаленной точкой», общей для любого множества параллельных прямых. Тогда утверждение о том, что прямые l и m параллельны, перейдет в утверждение о том, что прямые l и m пересекаются в бесконечности. Необходимо доказать, что все такие идеальные точки ведут себя так, как если бы они принадлежали «идеальной прямой», которая обладает всеми свойствами, которыми по предположению обладают обычные прямые. Доказательство этого утверждения основывается на знаменитой теореме Дезарга: если соответствующие вершины двух треугольников можно соединить тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и обратно.

Обосновав присоединение идеальных элементов к евклидовой плоскости, мы можем теперь сказать, что любые две прямые имеют точку пересечения, и в этом заключается основное отличие проективной геометрии. Аналогичным образом мы можем присоединить к трехмерному евклидову пространству «бесконечно удаленную плоскость» и построить проективное пространство любой размерности. Заметим, что теперь мы можем полностью отказаться от понятия «расстояние».

Нужно подчеркнуть, что проективная геометрия не есть что-то абстрактное, практически не связанное с внешним миром. Рассмотрим произвольную точку Р и любую плоскость p, не проходящую через точку Р, в обычной евклидовой геометрии. Любая плоскость p₁, проходящая через Р, пересекается с плоскостью p по некоторой прямой l₁; в частности, плоскость p_Ґ , проходящая через точку Р и параллельная плоскости p, пересекается с p по прямой l_Ґ , бесконечно удаленной прямой, лежащей в плоскости p. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между плоскостями, проходящими через точку Р, и прямыми, лежащими в плоскости p. Если воспользоваться интерпретацией

точка = прямая, проходящая через Р,
прямая = плоскость, проходящая через Р,

то можно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, а потому «пучок» прямых и плоскостей, проходящих через точку Р, образует проективную геометрию плоскости.

Вклад Паскаля в геометрию заключается в том, что он показал проективную природу известных со времен Аполлония свойств конических сечений, которые позднее были переведены Декартом на алгебраический язык. Эта работа была завершена Ф.де Лаиром (1640–1718), и, хотя дальнейшее развитие проективной геометрии прервалось и затем продолжилось лишь в 19 в., начало критическому анализу понятия длины было положено. См. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

назад   дальше