Students.by - это живая энциклопедия белорусского студента (статьи, книги, мультимедиа). Еще мы предлагаем поиск по лучшим полнотекстовым научным хранилищам Беларуси!
 |
 |
|
|
|
|
|||||||||||
  
|
|
Неевклидова геометрия. Смелое допущение Евклида о параллельных прямых, содержавшееся в его знаменитом пятом постулате, почти две тысячи лет было для математиков источником смутного беспокойства, но серьезные попытки доказать его на основе иных допущений были предприняты только в 18 в. И хотя они оказались безуспешными, математикам все же удалось показать, что постулат о параллельных Евклида эквивалентен требованию равенства суммы углов треугольника двум прямым углам, или, что то же, p радианам. Поэтому скорее психологическим, чем математическим прорывом стало осознание существования двух других возможных вариантов: 1) сумма углов треугольника всегда больше p; в этом случае параллельных прямых не существует, и любые две прямые пересекаются; 2) сумма углов треугольника всегда меньше p; в этом случае для любой точки Р, не лежащей на данной прямой l, существуют две прямые lў и lўў, проходящие через Р и параллельные данной прямой l, и любая прямая, лежащая внутри угла, заключенного между lў и lўў, не пересекается с l. Непротиворечивость второго варианта была осознана К.Гауссом (1777–1855), но впервые опубликована независимо друг от друга Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевским (1792–1856) в 30-х годах 19 в. Риман был первым, кто понял, что первый вариант реализуется в сферической геометрии, развитой для нужд астрономии и мореплавания. Было бы ошибкой думать, будто математика на протяжении столетий не претерпела никаких изменений. Постижение тонких идей происходит медленно, и когда мы оглядываемся назад, в прошлое, наши величайшие достижения нередко представляются очень простыми. А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны, играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны геодезические порождают гиперболическую геометрию. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана. Трудно переоценить философское значение этих идей. Человек словно снял темные очки и увидел свое представление о пространстве «при дневном свете», что открыло новые, более интересные и захватывающие возможности, чем он мог себе вообразить. То, что Гаусс предпринял попытку измерить сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Германии, было естественным следствием его понимания того, что постулат Евклида о параллельных явился результатом выбора из ряда возможностей, хотя выбора, несомненно, наилучшего для наших повседневных нужд. И хотя Гауссу не удалось обнаружить никаких отклонений от p, выходящих за пределы допустимой экспериментальной ошибки, это отнюдь не положило конец попыткам предпринять аналогичные крупномасштабные измерения с помощью гигантских телескопов и электронных устройств (см. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).В последние десятилетия наши представления о пространстве сильно изменились под воздействием повсеместного принятия в физике концепции «пространства-времени». Связывание воедино двух фундаментальных понятий вынуждает нас перенести все внимание с «положения» на «событие». Выбирая из многообразия римановых метрик некоторую, в чем-то более предпочтительную, мы может более удовлетворительным образом скоординировать результаты современной физики. См. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ. |
|
|
|